Question

已知抛物线x 2 =4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的

已知抛物线x 2 =4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M。 （1）求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列； （2）设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值。

Answer 1

解：（1）由已知得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0， 可设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0）， ， 由 得 ，显然△＞0， ∴ ， 由 得 ， ∴ ，直线AM的斜率为 ， 直线AM的方程为直线 ， 化简得AM的方程为 ， 同理可得直线BM的方程为 ， 两式相减得 ，即A、M、B三点的横坐标成等差数列。 （2）由（1）知y=-1，点M的坐标为（2k，-1）， ， 则直线MF的方程为： ， 设 ，由 得： ，显然△＞0， ∴ ， 又 ， ， ， ∴AB⊥AC， ， 当且仅当k=±1时，四边形ACBD的面积有最小值32。