Question

如图，在四边形ABCD中，对角线BD、AC相交于点G，∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，∠ACD=24°．（1）

如图，在四边形ABCD中，对角线BD、AC相交于点G，∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，∠ACD=24°．（1）求证：BG=AC．（2）求∠ADB的度数．

Answer 1

（1）证明∵∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°=∠ACB，
∴AB=AC，
又∠AGB=∠ACB+∠DBC=48°+36°=84°，
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=84°，
∴∠BAG=∠BGA=84°，
∴BG=BA，
∴BG=AC．

（2）解：在四边形ABCD形外作∠PBA=∠DBA=12°，并使BP=BD，连AP、PC．
则在△PAB和△DBA中

BP＝BD ∠PBA＝∠DBA AB＝AB

，
∴△PBA≌△DBA（SAS），
∠BPA=∠BDA，
又∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=48°+24°=72°，
∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD=BP，
又∠PBC=∠PBA+∠ABD+∠DBC=12°+12°+36°=60°，
∴△PBC为等边三角形．
∴PB=PC，
∵在△PBA和△PCA中

BP＝CP PA＝PA AB＝AC

∴△PBA≌△PCA（SSS），
∴∠BPA=∠CPA=30°．
∴∠ADB=∠BPA=30°．