Question

△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，C=π3，a+b=λc，（λ＞1）（Ⅰ）若λ=3，求证：△ABC为直角

△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，C=π3，a+b=λc，（λ＞1）（Ⅰ）若λ=3，求证：△ABC为直角三角形（Ⅱ）若S△ABC=9316λ2，且c=3，求λ．

Answer 1

（Ⅰ）∵λ=

3

，
∴a+b=λc=

3

c，又△ABC中，C=

π

3

，
∴a²+b²+2ab=3c²=3（a2+b2?2abcos

π

3

），
∴（a-2b）（2a-b）=0，
∴a=2b或b=2a，
当a=2b时，

3

c=a+b=3b，c=

3

b，b²+c²=b²+3b²=4b²=a²，故△ABC为直角三角形；
当b=2a时，同理可得，a²+c²=b²，故△ABC为直角三角形；
综上所述，λ=

3

时，△ABC为直角三角形．
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

absin

π

3

=

9 3

16

λ2，
∴ab=

9

4

λ²①，又c=3，∴a+b=3λ②，
∴9=c²=a²+b²-2abcos

π

3

=3c²=（a+b）²-3ab=9λ²-3×

9

4

λ²=

9

4

λ²，
∴λ²=4，λ＞0，故λ=2．