证明：有无穷多个n，使多项式n 2 +n+41（1）表示合数；（2）为43的倍数
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| 证明：（1）要使n（n+1）+41是合数． 则只要n（n+1）是41的倍数就可以． 要使n（n+1）是41的倍数，则n=41k或n=41k-1， 当n=41k（k为自然数）时，原式=41k 2 +41k+41=41（k 2 +k+1）， 同理，当n=41k-1时，原式=41k 2 +41k+41=41（k 2 +k+1）， 满足此条件的自然数k有无数个，所以对应的n也有无穷多个； （2）使多项式n 2 +n+41为43的倍数， 设n 2 +n+41=43k，（k是正整数） n 2 +n-2=43（k-1）， （n+2）（n-1）=43（k-1）， 要使n（n+1）+41是43的倍数， 则只要（n+2）（n-1）是43的倍数就可以． 则n=43k-2或n=43k+1（k=0、1、2、3…）， 当n=43k-2时，原式=（43k） 2 +3×43k+43=43（k 2 +3k+1）， 同理可得，当n=43k+1时，原式=（43k） 2 +3×43k+43=43（k 2 +3k+1）， 满足此条件的k有无穷多个， 故表示为43的倍数的n也有无穷多个． |
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