Question

设函数f(x)=alnx-bx 2 (x＞0)，(1)若函数f(x)在x=1处与直线y= 相切，①求实数a，b的值；②求函数f(x)在[

设函数f(x)=alnx-bx 2 (x＞0)，(1)若函数f(x)在x=1处与直线y= 相切，①求实数a，b的值；②求函数f(x)在[ ，e]上的最大值；(2)当b=0时，若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈[0， ]，x∈(1，e 2 ]都成立，求实数m的取值范围。

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Answer 1

解：(1)① ， ∵函数f(x)在x=1处与直线 相切， ∴ ； ② ， 当 时，令f′(x)＞0，得 ； 令f′(x)＜0，得1＜x≤e， ∴f(x)在 上单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴ ； (2)当b=0时，f(x)=alnx， 若不等式f(x)≥m+x对所有的 都成立， 则alnx≥m+x对所有的 都成立， 即m≤alnx-x对所有的 都成立， 令h(a)=alnx-x，则h(a)为一次函数， ， ∵x∈ ，∴lnx＞0， ∴h(a)在 上单调递增，∴ ， ∴m≤-x对所有的x∈ 都成立， ∵ ， ∴ ，∴ 。