Question

已知x，y满足约束条件 x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3 ，（1）求z=2x-y的最

已知x，y满足约束条件 x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3 ，（1）求z=2x-y的最小值；（2）求z= x 2 + y 2 +4x+2y+5 的最小值和最大值；（3）求z= x+y-5 x-4 的取值范．

Answer 1

（1）由z=2x-y，得y=2x-z，作出约束条件 x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3 对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=2x-z，由平移可知当直线y=2x-z， 经过点C时，直线y=2x-z的截距最大，此时z取得最小值， 由 x-y+6=0 x+y=0 ，解得 x=-3 y=3 ，即C（-3，3）． 将C（-3，3）的坐标代入z=2x-y，得z=-6-3=-9， 即目标函数z=2x-y的最小值为-9． （2）z= x 2 + y 2 +4x+2y+5 = (x+2 ) 2 +(y+1 ) 2 ，所求最值就是可行域内的点到（-2，-1）的距离的最小值和最大值． 点M到直线x+y=0的距离： |-2-1| 2 = 3 2 2 ．所以最小值为： 3 2 2 ． 最大值为：MA的距离： (3+2) 2 + (9+1) 2 =5 5 ． （3）z= x+y-5 x-4 =1+ y-1 x-4 ，所求z的取值范围．就是P与可行域内的点连线的斜率加1的范围， K PN = 1+3 4-3 =4．K PA = 9-1 3-4 =-8， ∴z的范围是：[-7，5]．