Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（Ⅰ）求椭圆C

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l： 与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的标准方程为 （Ⅱ）直线l过定点，定点坐标为

试题分析：（Ⅰ）因为椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 .在椭圆中 ，可求 ，再根据椭圆的标准方程为 求得. （Ⅱ）联立直线l与椭圆方程得 的一元二次方程，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），所以 ,故 ,可得 的关系式，再由点斜式的直线方程 写出直线l过定点，注意检验. 试题解析：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为 由已知得： （Ⅱ）设 ，联立 得 ，则 又 ， 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0）， 当 ，直线过定点（2，0），与已知矛盾； 当 所以，直线l过定点，定点坐标为