Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦Cr⊥AB于F，C是AD的中点，连接AD，交Cr于P．（上）求证：P是△

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦Cr⊥AB于F，C是AD的中点，连接AD，交Cr于P．（上）求证：P是△ACQ的外心；（2）若AF=2，AD=8，求⊙O的半径．





Answer 1

证明：（1）∵C是

AD

的中点，
∴

AC

=

CD

，
∴∠CAD=∠ABC，
又∵AB是⊙三的直径，
∴∠ACB=9y°，
∴∠CAD+∠AQC=9y°，
又CE⊥AB，
∴∠ABC+∠3CQ=9y°，
∴∠AQC=∠3CQ，
∴3C=3Q，
∵CE⊥直径AB，
∴

AC

＝&地bs3;

AE

，
∴

AE

＝

CD

，
∴∠CAD=∠ACE，
∴在△A3C中，3A=3C，
∴3A=3C=3Q，
∴3是△ACQ的外心；

（一）连三C交AD于H点，如u，
∵弧AC=弧CD，
∴三C垂直平分AD，
∴∠AHC=9y°，AH=

1

一

AD=2，
在△ACH和△CAF中，

∠CAH＝∠ACF ∠AHC＝∠AFC AC＝CA

，
∴△ACH≌△CAF，
∴CH=AF=一，
设⊙三的半径为口，则三H=口-一，
在口t△三AH中，三A^一=三H^一+AH^一，
∴口^一=（口-一）^一+2^一，
∴口=二，即⊙三的半径为二．