Question

（2005?盐城）已知：在矩形ABCD中，AB=2，E为BC边上的一点，沿直线DE将矩形折叠，使C点落在AB边上的C点处

（2005?盐城）已知：在矩形ABCD中，AB=2，E为BC边上的一点，沿直线DE将矩形折叠，使C点落在AB边上的C点处．过C′作C′H⊥DC，C′H分别交DE、DC于点G、H，连接CG、CC′，CC′交GE于点F．（1）求证：四边形CGC′E为菱形；（2）设sin∠CDE=x，并设y=C′E+DGDE，试将y表示成x的函数；（3）当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC的长．

Answer 1

解答：（1）证明：根据题意，C、C′两点关于直线DE成轴对称，DE是线段CC′的垂直平分线，
故EC=EC′，GC=GC′，∠C′EG=∠CEG（2分）
由C′H⊥DC，BC⊥DC得：C′G∥CE，
∴∠C′GE=∠GEC，
∵∠C′EG=∠CEG，
∴∠C′GE=∠C′EG，
∴C′G=C′E，
∴C′G=C′E=EC=GC，
∴四边形CGCE为菱形．（4分）

（2）解：设DE=a，由sin∠CDE=

CE

DE

=x，
则CE=ax，又DC⊥CE，CF⊥DE，
∴△DCE∽△CFE，
∴

CE

FE

＝

DE

CE

∴EF＝

CE2

DE

＝

(ax)2

a

＝ax2（6分）
DG=DE-2EF=a-2ax²，
∴

C′E+DG

DE

＝

CE+DG

DE

＝

ax+a?2ax2

a

＝x+1?2x2．（7分）
∴y=-2x²+x+1．（8分）

（3）解：由（2）得：y=-2x²+x+1=?2(x?

1

4

)2+

9

8

，（9分）
可见，当x=

1

4

时，此函数的图象达到最高点，此时

DG

DE

＝1?2x2＝1?

1

8

＝

7

8

∵GH∥CE，
∴

DH

DC

＝

DG

DE

＝

7

8

，
由DC=2，得DH=

7

4

．（10分）
在Rt△DHC′中C′H＝

DC′2?DH2

＝

4? 49 16

＝

15

4

．（11分）
∴BC=

15

4

．（12分）