在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上
在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．（1）当A在原点时，...
在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？
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（1）当A点在坐标原点时，如图，
AC在y轴上，BC⊥y轴，
所以OB＝
＝
．
目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．
（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
所以∠1=∠2=45°，OA＝OC＝
．
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
则∠3=90°-∠ACD=90°-（90°-45°）=45°．又BC=1，
所以CD＝BD＝
，BE＝BD+DE＝BD+OC＝
，
因此OB＝
＝
．
（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，
由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标
为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l2=OB2=cos2θ+（sinθ+2cosθ）2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2sin2θ+2（2cos2θ-1）=3+2sin2θ+2cos2θ=3+2
[
sin2θ+
cos2θ]=3+2
sin(2θ+
)
当θ＝
时，l2max＝3+2
＝(1+
)2，所以lmax＝1+
．
解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以OE＝
AC＝1．
在△ACB中，BC=1，CE＝
AC＝1，∠BCE＝90°，
所以BE＝
．
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+EB＝1+
，
若点O，E，B在一条直线上，
则OB＝OE+EB＝1+
AC在y轴上，BC⊥y轴，
所以OB＝
| AC2+BC2 |
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目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．
（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
所以∠1=∠2=45°，OA＝OC＝
| 2 |
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
则∠3=90°-∠ACD=90°-（90°-45°）=45°．又BC=1，
所以CD＝BD＝
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
因此OB＝
(
|
| 5 |
（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，
由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标
为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l2=OB2=cos2θ+（sinθ+2cosθ）2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2sin2θ+2（2cos2θ-1）=3+2sin2θ+2cos2θ=3+2
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
当θ＝
| π |
| 8 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以OE＝
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在△ACB中，BC=1，CE＝
| 1 |
| 2 |
所以BE＝
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若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+EB＝1+
| 2 |
若点O，E，B在一条直线上，
则OB＝OE+EB＝1+
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