Question

设A、B为m×n矩阵，证明A与B等价的充要条件为R（A）=R（B）

设A、B为m×n矩阵，证明A与B等价的充要条件为R（A）=R（B）．

Answer 1

证明：

（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而

初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）。

（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为Er ，即A、B都与Er 等价，从而A与B等价。

扩展资料：

矩阵等价的性质

1、矩阵A和A等价(反身性）；

2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

参考资料来源：百度百科-等价矩阵

Answer 2

解答：证明：
（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而
初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）．
（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为

Er O O O

即A、B都与

Er O O O

等价，从而A与B等价．