Question

在R上可导的函数f(x)= x 3 + ax 2 +2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对

在R上可导的函数f(x)= x 3 + ax 2 +2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及 的取值范围.

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Answer 1

函数f(x)的导数为f′(x)=x 2 +ax+2b,当x∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x 2 +ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f′(x)=x 2 +ax+2b的图象与方程x 2 +ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到 在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为△ABD(不包括边界), 如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), △ABD的面积为 S △ABD = |BD|×h= (h为点A到a轴的距离). 点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为 , 显然 (k CA ,k CB ), 即