Question

已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个

已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

Answer 1

（1）证明：∵△=（m+2）²-4（2m-1）=（m-2）²+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意，得
1²-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：

10

；
该直角三角形的周长为1+3+

10

=4+

10

；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2

2

；则该直角三角形的周长为1+3+2

2

=4+2

2

．