Question

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）设△BDM的面积为S1，四边形OCMD的面积S2，△MCA的面积为S3．①用含x的代数式表示S1、S2和S3，并写出同时含S1、S2和S3的等式关系；②当点M运动到什么位置时，S2有最大值？最大值是多少？

Answer 1

（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4，
则MC=-x+4，MD=x，
C_{四边形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，
当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．
（2）根据直线AB的解析式可得，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
①设点M的坐标为（x，-x+4），
则BD=OB-OD=4-（-x+4）=x，AC=OA-OC=4-x，
从而可得S₁=

1

2

x×x=

1

2

x²；S₂=x（4-x）=-x²+4x；S₃=

1

2

（4-x）（4-x）=

1

2

x²-4x+8，
等式关系为：S₁+S₂+S₃=8；
②S₂=x（4-x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∵0＜x＜4，
∴当x=2时，S₂取得最大值，最大值为4．
即当点M位于（2，2）时，S₂取得最大值，最大值为4．