Question

H：x-y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则____

H：x-y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则______为L的方向向量．

Answer 1

（2，-1，-3）为L的方向向量。

∵x-y+z=2为坐标空间中一平面

∴平面的一个法向量是

n=(1，-1，1)

设直线L的方向向量为

d=(2，b，c)

∵L在H上，

∴d与平面H的法向量

n=(1，-1，1)垂直

故d•

n=0⇒2-b+c=0

∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点，

∴OP⊥L

故OP•

d=0⇒(2，1，1)•(2，b，c)=0⇒4+b+c=0

解得b=-1，c=-3

故为：（2，-1，-3）

扩展资料： 

只要给定直线复，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。

1、即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为制

 =(-b,a)或(b,-a)；

2、若直线l的斜率为k,则l的一百个方向向量为

 =(1,k)；

3、若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB所在直线的一个方向向量为

 =(x2-x1,y2-y1)。

Answer 2

∵x-y+z=2为坐标空间中一平面 ∴平面的一个法向量是 n =(1，-1，1) 设直线L的方向向量为 d =(2，b，c) ∵L在H上， ∴ d 与平面H的法向量 n =(1，-1，1) 垂直 故 d ? n =0?2-b+c=0 ∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点， ∴ . OP ⊥L 故 OP ? d =0?(2，1，1)?(2，b，c)=0?4+b+c=0 解得b=-1，c=-3 故答案为：（2，-1，-3）