Question

如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F. (1) 求证：DE－BF = EF．(2

如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F. (1) 求证：DE－BF = EF．(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

（1）通过三角形全等进而求证（2） DE － BF = AF － AE = EF

试题分析：(1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, BF ⊥ AG , DE ⊥ AG ∴ DA = AB ， ∠ BAF + ∠ DAE = ∠ DAE + ∠ ADE = 90° ∴ ∠ BAF = ∠ ADE         ∴ △ ABF ≌ △ DAE       ∴ BF = AE ,  AF = DE    ∴ DE － BF = AF － AE = EF    3分 （2） EF = 2 FG       理由如下： ∵ AB ⊥ BC , BF ⊥ AG , AB =2 BG ∴ △ AFB ∽△ BFG ∽△ ABG     ∴   ∴  AF = 2 BF , BF =" 2" FG    由(1)知,  AE = BF ，∴ EF = BF =" 2" FG     8分 (3) DE + BF = EF              点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.