Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB, PC的中点 (1）求证：EF∥平面PAD；

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB, PC的中点 (1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD； （3）若ÐPDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

（1）∵ABCD是矩形,取PB的中点为G，连GF,GE,证得平面GEF//平面PAD，EF∥平面PAD。（2）证明△PAE≌△CBE，得出EF⊥PC。又CD⊥GE证得CD⊥平面GEF，推出EF⊥CD。 （3）EF与面ABCD所成的角为45°。

试题分析：（1）∵ABCD是矩形,取PB的中点为G，连GF,GE,由三角形中位线定理，知GF//BC//AD,GE//PA,又GE与GF交于G，PA与AD交于A，所以平面GEF//平面PAD，EF∥平面PAD。 （2）∵ABCD是矩形，∴CB＝AD、∠CBE＝90°、BC⊥CD。 ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAE＝90°。 ∵PA＝AD、CB＝AD，∴PA＝CB，又AE＝BE、∠PAE＝∠CBE＝90°，∴△PAE≌△CBE， ∴CE＝PE，而F∈PC且PF＝CF，∴EF⊥PC。 ∵G、F分别是PB、PC的中点，∴GF是△PBC的中位线，∴GF∥BC，而BC⊥CD， ∴CD⊥GF。 ∵G、E分别是PB、AB的中点，∴GE是△BPA的中位线，∴GE∥PA，而PA⊥平面ABCD， ∴GE⊥平面ABCD，∴CD⊥GE。 由CD⊥GF、CD⊥GE、GF∩GF＝G，∴CD⊥平面GEF，∴EF⊥CD。 （3）过F作FO⊥AC交AC于O。 ∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥EO，得：FO∥PA，FO⊥EO，AO＝CO。 由PF＝CF，FO∥PA，得：FO＝ PA。 由AE＝BE，AO＝CO，得：EO＝ BC。 由PA⊥面ABCD，FO∥PA，得：FO⊥面ABCD，∴∠FEO就是EF与面ABCD所成的角。 ∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴PA＝AD，结合证得的FO＝ PA， 得：FO＝ AD。 ∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，结合证得的EO＝ BC，得：EO＝  AD。 由FO＝ AD，EO＝ AD，FO⊥EO，得：∠FEO＝45°。 即：EF与面ABCD所成的角为45°。 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。