Question

已知定义域为R的函数f(x)＝?2x+a2x+1是奇函数．（Ⅰ）求实数a值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单

已知定义域为R的函数f(x)＝?2x+a2x+1是奇函数．（Ⅰ）求实数a值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，即

?20+a

20+1

=0；
∴a=1，即f(x)＝

?2x+1

2x+1

；
∴f（-x）=

?2?x+1

2?x+1

=

? 1 2x +1

1 2x +1

=

?1+2x

1+2x

=-f（x）
∴f（x）是R上的奇函数；
∴a的值是：a=1．
（Ⅱ）f（x）是R上的减函数，证明如下，
设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

?2x1+1

2x1+1

-

?2x2+1

2x2+1

=（-1+

2

2x1+1

）-（-1+

2

2x2+1

）
=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2?2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x