已知函数f（x）=ln（x+a）-x的最大值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）
已知函数f（x）=ln（x+a）-x的最大值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（3）证明：ni＝...
已知函数f（x）=ln（x+a）-x的最大值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（3）证明：ni＝122i?1＜ln(2n+1)+2(n∈N*)．
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（1）f（x）定义域为（-a，+∞），
f′（x）=
-1=
，由f′（x）=0，得x=1-a＞-a．…（1分）
当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下
因此，f（x）在 x=1-a处取得最大值，故f（1-a）=a-1=0，所以a=1．…（3分）
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意；
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx2，
即g（x）=x-ln（x+1）-kx2，
求导函数可得g′（x）=
，
g′（x）=0，可得x1=0，x2=
＞-1，
①当k≥
时，
≤0，
g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，
即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；
②当0＜k＜
时，
＞0，对于x∈（0，
），g′（x）＞0，
因此g（x）在（0，
）上单调递增，
因此取x0∈（0，
），时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；
综上知，k≥
时对任意的x∈[0，+∞），
有f（x）≤kx2成立，k的最大值为
．
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，
f(
)=
-ln（2n+1）
在（2）中，取k=
，得f（x）≤
x2，
∴f（
）=
＜
（i≥2，i∈N*）
∴
f′（x）=
| 1 |
| x+a |
| 1?x?a |
| x+a |
当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下
| x | （-a，1-a） | 1-a | （1-a，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - |
| f（x） | 增 | 极大值 | 减 |
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意；
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx2，
即g（x）=x-ln（x+1）-kx2，
求导函数可得g′（x）=
| ?x[2kx?(1?2k)] |
| x+1 |
g′（x）=0，可得x1=0，x2=
| 1?2k |
| 2k |
①当k≥
| 1 |
| 2 |
| 1?2k |
| 2k |
g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，
即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；
②当0＜k＜
| 1 |
| 2 |
| 1?2k |
| 2k |
| 1?2k |
| 2k |
因此g（x）在（0，
| 1?2k |
| 2k |
因此取x0∈（0，
| 1?2k |
| 2k |
综上知，k≥
| 1 |
| 2 |
有f（x）≤kx2成立，k的最大值为
| 1 |
| 2 |
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，
| n |
 |
| i＝1 |
| 2 |
| 2i?1 |
| n |
|
| i＝1 |
| 2 |
| 2i?1 |
在（2）中，取k=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴f（
| 2 |
| 2i?1 |
| 2 |
| (2i?1)2 |
| 2 |
| (2i?1)(2i?3) |
∴
| n |
