Question

已知函数f(x)＝lnx?ax+1?ax?1（a∈R）．（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

已知函数f(x)＝lnx?ax+1?ax?1（a∈R）．（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当0≤a＜12时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f(x)＝lnx+x+

2

x

?1，x∈（0，+∞）．
所以f′(x)＝

x2+x?2

x2

，x∈（0，+∞）．（求导、定义域各一分）（2分）
因此f′（2）=1．即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1．（3分）
又f（2）=ln2+2，（4分）
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x-y+ln2=0．（5分）
（Ⅱ）因为f(x)＝lnx?ax+

1?a

x

?1，
所以f′(x)＝

1

x

?a+

a?1

x2

=?

ax2?x+1?a

x2

，x∈（0，+∞）．（7分）
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
①当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（8分）
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（9分）
②当0＜a＜

1

2

时，由f′（x）=0即解得x₁=1，x2＝

1

a

?1，此时

1

a

?1＞1＞0，
所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（10分）x∈(1，

1

a

?1)时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；（11分）x∈(

1

a

?1，+∞)时，，此时，函数f（x）单调递减．（12分）
综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在(1，

1

a

?1)上单调递增；
在(

1

a

?1，  +∞)上单调递减．（13分）