Question

求函数f(x,y)=1/3x^3+1/2y^2-2xy+3x+4的极值

Answer 1

解：
f'x=x²-2y+3=0
f'y=y-2x=0, 得y=2x,
代入上式得：x²-4x+3=0,
得x=1, 3，从而得y=2, 6
故有驻点(1,2), (3, 6)
A=f"xx=2x
B=f"xy=-2
C=f"yy=1
B²-AC=4-2x
在(1,2), B²-AC=4-2=2>0, 故不是极值点；
在(3,6), B²-AC=4-6=-2<0, A=6>0,
因此这是极小值点，极小值为f(3,6)=9+18-36+9+4=4.

Answer 2

f'x=x²-2y+3=0
f'y=y-2x=0, 得y=2x, 代入上式得：x²-4x+3=0, 得x=1, 3，从而得y=2, 6
故有驻点(1,2), (3, 6)
A=f"xx=2x
B=f"xy=-2
C=f"yy=1
B²-AC=4-2x
在(1,2), B²-AC=4-2=2>0, 故不是极值点；
在(3,6), B²-AC=4-6=-2<0, A=6>0, 因此这是极小值点，极小值为f(3,6)=9+18-36+9+4=4.