Question

证明不等式lnx(x+1)<x,其中x>0

Answer 1

x>0时，lnx(x+1)<x不成立!
题目应为:
x>0时，证明不等式ln(x+1)<x。

构造函数f(t)=ln(t+1)-t，
则t>0时，f'(t)=-t/(t+1)<0，
∴f(t)为单调递减函数，
故x>0时，f(x)<f(0)=0，
∴ln(x+1)-x<0，
即ln(x+1)<x。

Answer 2

要证
x>ln(1+x)(x>0)
即证,x-ln(1+x)>0
设f(x)=x-ln(1+x)
求导可得：f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0在定义域(0,+无穷)上恒成立,
所以f(x)单调增,得f(x)>f(0)=0
得证x-ln(1+x)>0
得证x>ln(1+x)(x>0)
这种比较大小的题目,一般是构造函数和基本不等式法来解答,