Question

如何用数学归纳法证明二项式定理

Answer 1

证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边
假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b
＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立

Answer 2

利用杨辉三角。
(1)观察杨辉三角,猜想二项式定理
既然表中除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和,如将第1行的1,1用组合数C01,C11表示,那么第2 行的中间一数应为C01+ C11= C12,引导学生利用组合的性质C0n=Cnn=1, Cmn+Cm-1n= Cmn+1
将杨辉三角中每个数转化成组合数形式:
归纳猜想:(a十b)n展开式的系数是,,,…,于是
(a十b)n=C0n an十C1n an-1十…十an-rbr十…十Cnn bn
(2)概念:这个公式叫二项式定理,右边的多项式叫做(a十b)n的二项展开式,
(r=0,1,……n)叫做二项式系数,叫做二项展开式的通项,记作Tr+1=.
(3) (a十b)n展开式的特点
二项式定理(a十b)n=C0n an十C1n an-1十…十an-rbr十…十Cnn bn的特点是:
(1)项数:共有n十1项;
(2)系数:第r十1项的系数是 (r=O,l,2,…,n);
(3)指数:a的指数是从n开始,逐渐减1按降幂排列到0;b的指数是从0开始,逐渐加1按升幂排列到n;
(4)项的次数:各项次数和都是n;
(4)注意事项(通项公式的应用)
二项展开式的通项Tr+1=, (r=0,l,2,…,n)是(a十b)n展开式的第r十l项,而不是第r项.其中还要注意下面两点:
第一点是a,b的位置不能颠倒,即(b十a)n的展开式第r十1项,不是,而应为;
第二点是(a一b)n的展开式第r十1项为=(-1)r.
(2)注意区别二项式系数与指定项的系数二者异同
在(a十b)n的展开式中,系数(r=0,l,…,n)是一组仅与二项式的次数n有关的n十1个组合数,而与a,b无关,因此称为二项式系数.而(a十b)n的展开式中指定项系数与a,b是有联系的.例如:(1十x)n的展开式第r十1项的系数为,而(1十2x)n的展开式第r十l项的系数为2r,(2十x)n的展开式第r十1项的系数为
重在启发,引导学生归纳
例题讲解
展开(1+1)4.
求(2a+b)5的展开式的
第四项;
(2)第四项的二项式系数;
(3)第四项的系数.
简解:(1)T3+1==10·4a2b3=40a2b3
(2) =10
(3) 40
强调:展开式中某项的系数与二项式系数是不同的概念.
【例3】求(x-)9的展开式中x3的系数.
分析:抓住通项公式.
【例4】 求(一)15的展开式中常数项.
分析 (一)15的展开式中的常数项,就是展开式中x的指数为零的项.
解 设(一)15展开式中常数项为第r十1项,则Tr+1=
=,令 解得r=6,从而可知不含x的项是展开式中的第7项.
所以展开式中常数项为T7=(一1)6=5005.
评注 根据已知条件求二项展开式中特定的项的问题,往往先根据己知条件或通项公式,把问题转化为求方程的解,最后再代人通项公式求出问题的解.

Answer 3

先验证1次方……
再假设k次方……
最后k+1时改成k次方乘以（a+b）带入上一步假设的利用多项式乘法解决问题。

例：证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b

左边＝右边

假设当n＝k时，等式成立，

即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立