Question

考研线性代数一道题，大家帮解答下为什么，看不懂了。第三题。为什么选择c，abcd都解释下吧。

Answer 1

由题意，ξ1，ξ2，ξ3是AX=〇的基础解系，于是可以得到下面3个结论：
① ξ1，ξ2，ξ3均是AX=〇的解，即Aξ1=〇， Aξ2=〇，Aξ3=〇。
② ξ1，ξ2，ξ3线性无关。
③ AX=〇的基础解系中解向量的个数是3个。

只有同时满足以上3个要求的向量组才能是AX=〇的基础解系，下面只要把四个选项分别对照判断就可得出答案。

对于选项A和B，等价向量组或者等秩向量组，向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。所以不具备成为基础解系的条件，因此排除。

对于选项D，给出的3个向量是线性相关的，向量之间可以相互线性表示，
即 ξ1-ξ2=-（ξ2-ξ3）-（ξ3-ξ1），线性相关的向量组不可能成为某个方程组的基础解系，因此排除。

只有选项C是符合题目要求的，下面给予证明：
证：
∵ Aξ1=〇， Aξ2=〇，Aξ3=〇，
∴ A（ξ1+ξ2）=Aξ1+Aξ2=〇，
A（ξ2+ξ3）=Aξ2+Aξ3=〇，
A（ξ3+ξ1）=Aξ3+Aξ1=〇。
即 ξ1+ξ2，ξ2+ξ3，ξ3+ξ1都是AX=〇的解。

设 l（ξ1+ξ2）+m（ξ2+ξ3）+n（ξ3+ξ1）=0，
即（l+n）ξ1+（l+m）ξ2+（m+n）ξ3=0。
∵ ξ1，ξ2，ξ3线性无关，
∴ 方程组
l+n=0
l+m=0
m+n=0
可以解得：l=m=n=0，即向量组 ξ1+ξ2，ξ2+ξ3，ξ3+ξ1是线性无关的。

向量组 ξ1+ξ2，ξ2+ξ3，ξ3+ξ1中解向量的个数是3个。

以上分别证明了基础解系成立的3个条件，因此可得结论：
向量组 ξ1+ξ2，ξ2+ξ3，ξ3+ξ1是AX=〇的基础解系。

Answer 2

因为基础解系必须线性无关的向量组组成，c三个向量线性无关，你ab都不能保证线性无关，而d线性相关，所以都不能选