Question

高数。定积分和极限之间的转化

求大神解答

Answer 1

lnA= lim 1/n * ∑(i=1到n) ln(1+ i/n) 。

ln(1+x)的定积分当i=1时，i/n→0当i=n时，i/n=1所以积分区间是[0,1]。

原式=lim(n->∞) n*∑(k=1->n) 1/(k^2+n^2)。

=lim(n->∞) (1/n)*∑(k=1->n) 1/[(k/n)^2+1]。

=∫(0,1) 1/(x^2+1)dx。

=arctanx|(0,1)。

=π/4。

相关内容解释

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

lnA= lim 1/n * ∑(i=1到n) ln(1+ i/n) 

ln(1+x)的定积分当i=1时，i/n→0当i=n时，i/n=1所以积分区间是[0,1]

原式=lim(n->∞) n*∑(k=1->n) 1/(k^2+n^2)

=lim(n->∞) (1/n)*∑(k=1->n) 1/[(k/n)^2+1]

=∫(0,1) 1/(x^2+1)dx

=arctanx|(0,1)

=π/4

扩展资料：

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 3

主要考察的是积分的定义，把握住两点，第一是分段方式，第二是每一段上的任一函数值，这两部分相乘再累加即为定积分值。不必拘泥于传统的形式，灵活变通即可。

Answer 4

希望能帮到楼主！