怎么求复合函数的单调区间(在各个定义域的单调性)

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1、对复合函数f(x)求导,得 f’(x);

2、分别求 f'(x)>0 和 f'(x)<0 的x 取值范围;

3、f'(x)>0 则复合函数f(x) 在x区间内单调递增;

f'(x)<0 则复合函数f(x) 在x区间内单调递减;

4、根据所求区间与定义域求交集,即可得到单调区间。

判断复合函数的单调性的步骤如下:

⑴求复合函数的定义域;

⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);

⑶判断每个常见函数的单调性;

⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;

⑸求出复合函数的单调性。

扩展资料:

复合函数的单调性口诀:同增异减

内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增);

内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减)。

关键:因为外函数的定义域是内函数的值域,所以判断外函数的单调性时,判断的是外函数在内函数的值域上的单调性。

例如:讨论函数y=的单调性。

解:函数定义域为R;

令u=x2-4x+3,y=0.8u;

指数函数y=0.8u在(-∞,+∞)上是减函数;

u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数;

∴ 函数y=  

在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。

参考资料:百度百科——复合函数

杨风游
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第一步,先确定原函数是由哪两个函数复合而成的;
第二步,分别考察那两个函数的单调性;
第三步,用“同增异减”下结论。

解题时,这种题目往往分两层,分开考虑。
若内层与外层函数有同样的单调性,则复合函数为增函数;
若内层与外层函数有相反的单调性,则复合函数为减函数。
例1:求f(x)=2^(x^2+2x+1)的单调性。
解:f(x)=2^u 外层函数
u=x^2+2x+1 内层函数
外层函数为增函数,所以只需考察内层函数的单调性:当x<-1时为减,当x>-1时为增
所以f(x)=2^(x^2+2x+1)当x>-1时为增,当x<-1时为减
例2:y=(1/3)^x^2-2x-3的单调区间
解:
这是复合函数,设t= x^2-2x-3,y=(1/3)^ t,
∵x^2-2x-3关于直线x=1对称,
∴t=x^2-2x-3的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(-∞,1] .
∵y=(1/3)^ t 是减函数,
根据复合函数“同增异减”的原则,可知:
原函数的单调减区间为[1,+∞),单调增区间为(-∞,1] .

例3:求函数log以2为底(x的平方-5X+6)的单调区间
【解】
先求定义域
x^2 -5x+6>0
x>3或者x<2.

再求括号内式子的单调性
u=x^2-5x+6=(x-5/2)^2-1/4,
对称轴是x=5/2,该二次函数在x>5/2时递增,在x<5/2时递减。
又因为log2(u)本身是增函数,
可知原函数在(负无穷,2)上递减,在(3,正无穷)上递增。

【加减复合】

在公共区间内:
增函数减减函数得增函数
减函数减增函数得减函数
增函数加增函数得增函数
增函数减增函数不能确定
减函数加减函数得减函数
减函数减减函数不能确定其增减性
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