Question

（2014襄阳）（10分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A

（2014襄阳）（10分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

Answer 1

（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E，
∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，
∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA；
（2）PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，∠PAB=∠PCB,∠BPA=∠BFC,PB=BF，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，AB=BC，
∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）解：∵△ADP∽△BDA，
∴AD/BD=DP/DA=AP/AB，
∵AD=2，PD=1
∴BD=4，AB=2AP，
∴BP=BD﹣DP=3，
∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，
∴PAD=∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，
∴AP/CP=DP/AP，
∴AP2=CP•PD，
∴AP2=（3+AP）•1，
解得：AP=（1+根号13）/2或AP=（1-根号13）/2（舍去），
∴BC=AB=2AP=1+根号13．

追问

AP²=(3+ap).1是什么

我其实主要要问的这个

追答

第二问证了，PA+PB=PC
PB=3，PD=1也都证过了
AP2=CP*PD中CP=PA+PB=PA+3；PD=1
如果不明白请继续

追问

谢谢谢谢