Question

怎样证明几何平均数小于等于算术平均数

Answer 1

一、首先在图纸上画一个以b为边长的正方形，在沿着正方形的右边往下量，在距a的距离，画一条与正方形上边相平行的线。之后再画一条由左上到右下的线段，具体如下图所示。

二、在画好的图形中，我们可以比较方面的计算得出正方形的面积，这里使用b的平方来表示。同时，我们也可以计算出由线段截出来的右上部分的三角形的面积，为二分之b的平方。

三、通过计算，我们知道，下图中的阴影部分的面积为二分之b的平方与二分之一a的平方之和。

四、并且可以很清楚的看到，阴影部分的面积是明显大于其中阴影部分的面积之和的。

五、当a的长度无限接近于b的长度的时候，或者a的长度与b的长度吻合的时候，这个时候则算数平均数与几何平均数相等了。

六、使用基本的可以理解的公式也同样可以证明，具体的证明算法如下图所示。

Answer 2

用数学归纳法证
n个非负数a1，a2，…，an的几何平均数是
(a1a2…an)1/n
 
  算术平均数是
(a1+a2+…an)/n
 
证明：
  (a1a2…an)1/n<=(a1+a2+…an)/n

  证明 当n=1的时候，(1)式不证自明．如果a1，a2，…，an里有一个等于0，(1)式也不证自明．
  现在假设
0＜a1≤a2≤…≤an．
  如果a1=an，那末所有的aj(j=1，2，…，n)都相等，(1)式也就不证自明．所以我们进一步假设a1＜an，并且假设
   (a1a2…an)1/n<=(a1+a2+…an)/n  成立

(a1+a2+…an+1)/(n+1)=n/n*((a1+a2+…an)/(n+1)
=(a1+a2+…an)/n-(an+1-(a1+a2+…an)/n)/n+1
  
   
  把等式两边都乘方n(n＞1)次，并且由
(a+b)n＞an+nan-1b，(a＞0，b＞0) （证明）
由二项式定理可知
(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n.
由C(a,b)=a!/（b!(a-b)!），把a=n,b=1代入，得
C(n,1)a^(n-1)b=an+nan-1b
所以
(a+b)n＞an+nan-1b，(a＞0，b＞0)
可知
（(a1+a2+…an+1)/n+1）n+1＞（(a1+a2+…an)/n）n+1+（n+1）*    （ (a1+a2+…an)/n ）n  (an+1-(a1+a2+…an)/n)/n+1=  an+1 （(a1+a2+…an)/n）n＞=a1a2…an*an+1
  定理得证．