Question

高等数学，关于（e，∞）上的1/(xlnx)反常积分的敛散性。 如题。 按照（1，∞）上1/（

高等数学，关于（e，∞）上的1/(xlnx)反常积分的敛散性。

如题。
按照（1，∞）上1/（x的p次方），p大于1，反常积分即收敛。
那么按理说x趋于∞时（1/xlnx）/（1/x）=1/lnx =0，分子阶数大于分母，那么1/xlnx应该是收敛的才对吧？

可是好像却是发散的，哪里出了问题呢，求分析

Answer 1

追答

如果分母发散，即便分子是比分母高阶的无穷小，也不能就因此而认为分子是收敛的。

如果分母是收敛的，而分子是与分母同阶或者比分母高阶的无穷小，那么分子也是收敛的。

就像这个例子，虽然1/xlnx比1/x的阶高，但是1/xlnx却比任何的1/x^p都低阶

因此，并不能得出1/xlnx收敛

追问

噢。有道理

但是好像1/（xln^2 x）就收敛了

噢不对。。。

追答

不收敛啊

追问

∞到e的区间的积分的话好像收敛了

是不。。

追答

这个还得具体问题，具体分析

如果分母发散，即便分子是比分母高阶的无穷小，分子的收敛性仍然是不确定的。

如果分母是收敛的，而分子是比分母低阶的无穷小，那么分子的收敛性还是不确定的。

是啊

数学的正确性，不能只凭直觉，关键得通过严谨的证明

追问

我想一下

我好像懂了

写得有点乱不好意思●﹏●你看看这思路对吗，谢谢你了，解决了个盲点

追答

对啊

追问

但∞到e的区间倒确实是收敛的，积分积出来求极限就可以了。

追答

主要是因为lnx比x^p（p＞0）都低阶

追问

好嘞，谢谢你了

是的~thank u୧(๑•̀⌄•́๑)૭

追答

可见，lnx的增长是有多么缓慢啊

Answer 2

1/x 是发散的

追问

是，我说的是1/（x的p次方），p大于1，这样是收敛的

没说错吧？

你帮我琢磨琢磨