Question

函数可积的充分条件里，第三个：f（x）在闭区间a，b上单调 怎么理解，万一我有无穷多个间断点呢

RT

Answer 1

有无穷个间断点的函数也有可积的，如[0,1]上定义的黎曼函数。只要这种间断点的个数是可数个无穷多就行，黎曼函数的间断点是可数个无穷多，所以可积。狄里克莱函数也定义在[0,1]上，间断点个数也是无穷多个，但不是可数个无穷多，因此不可积。可以证明单调函数的间断点最多是可数个无穷多，因此只要函数单调有界一定可积。

追问

无穷多和可数不矛盾吗，既然“无穷”了，还怎样“可数”。。。。

追答

这是专业术语，可数无穷多意思是可控无穷多，如1，2，...，n，...这样的无穷数列的个数是可以数下去的，绝对不会丢掉一个；再如，在[0，1]中的有理数都可以表示为p/q（p、q互质，且p<q)，无一例外，因此也是可数无穷多，但[0，1]中的无理数就不是可数无穷多，它们比有理数多得多，这些概念你找本实变函数的书仔细看看才能懂。