Question

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a.b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a.b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性为什么要设a=b=0和a=b=1?
这道题有两个小问

（1）求f(0)和f(1)的值
（2）判断奇偶性

Answer 1

因为f(x)对任意的实数a,b满足f(ab)=af(b)+bf(a):
故令a=b=0得,f(0)=0;
令a=b=1,得f(1)=
f(1)+
f(1)，f(1)=0;
令a=b=-1得f(1)=
-f(-1)-
f(-1)，;
f(-x)=f[x*(-1)]=xf(-1)-f(x);
因为f(-1)=0所以：f(-x)
=-f(x)；
即f(x)是定义在R上的
奇函数
。

Answer 2

解(1)令a=1代入f(ab)=af(b)+bf(a)

得f(b)=f(b)+bf(1)

即bf(1)=0对b属于R恒成立
则f(1)=0
令a=b=0代入f(ab)=af(b)+bf(a)

得f(0)=0×f(0)+0×f(0)

即f(0)=0
(2)令a=b=-1代入f(ab)=af(b)+bf(a)
得f(1)=-f(-1)-f(-1)
即-2f(-1)=f(1)=0
即f(-1)=0
令a=-1，b=x代入f(ab)=af(b)+bf(a)
得f(-x)=-f(x)+xf(-1)
即f(-x)=-f(x)
故知f(x)是奇函数。

追问

我想问“令a=b=0代入f(ab)=af(b)+bf(a)”是为什么？

追答

这是函数赋值问题，
题目中给出f(ab)=af(b)+bf(a).

就表示一些函数值通过赋值就能求出来。

Answer 3

追问

我想问“令a=b=0代入f(ab)=af(b)+bf(a)”是为什么

追答

这样你不是很容易就能算出F（0）=0了吗。同样的道理你也很容易算出F（1）=0了。要不然你怎么算出这两个数字啊。这就是个解题的方法