Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过(1,3/2)且e=1/2 1,求椭圆C 2

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过(1,3/2)且e=1/2
1,求椭圆C
2,动点P在x=-1上，过P做直线交C于M,N且P为MN中点，过P再做直线l⊥MN，求证:l恒过定点，并求定点坐标

Answer 1

追答

(I)因为点(1,32)，在椭圆C上，
所以1a2+94b2=1，
又椭圆C的离心率为12,所以ca=12，
即a=2c,所以a2=4,b2=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(II)设P(−1,y0),则y0∈(−32,32)，
①当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y−y0=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2)，
由{3x2+4y2=12y−y0=k(x+1),得(3+4k2)x2+(8ky0+8k2)x+(4y20+8k0+4k2−12)=0，
所以x1+x2=−8ky0+8k23+4k2，
因为P为MN中点,所以12(x1+x2)=−1,x1+x2=−2.
即−8ky0+8k23+4k2=−2，
所以kMN=34y0(y0≠0)，
因为直线l⊥MN，
所以k1=−4y03，
所以直线的方程为y−y0=−4y03(x+1)，
即y=−4y03(x+14),显然直线恒过定点(−14,0)，
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=−1，
此时直线为x轴,也过点(−14,0)，
综上所述,直线恒过定点(−14,0).

追问

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