Question

lim(x,y→0,0) [x*sin(1/y)+y*sin(1/x)]=?

Answer 1

因为x→0,y→0时，x是无穷小量，而sin(1/y)是有界变量，因此limxsin(1/y)=0;

同理，y是无穷小量，sin(1/x)是有界变量，因此limysin(1/x)=0.

两个无穷小量之和仍为无穷小量。

追问

那么为什么说0≤原式≤∣x∣+∣y∣?

追答

对无穷小量不要用这种静态的代数式子去理解。
在极限运算中有一条定理：有限个无穷小量之代数和仍是无
穷小量。极限为0的变量就是无穷小量。
你说的那个式子 0≤原式≤∣x∣+∣y∣ 在这里是不成立的。

在y→0的过程中，-1≦sin(1/y)≦1，即sin(1/y)在-1到1之间
作无休止的来回振荡。sin(1/x)也同样。因此上面的不等式
不存在！

Answer 2

sin函数绝对值小于等于1
有|xsin(1/y)+ysin(1/x)|≤|xsin(1/y)|+|ysin(1/x)|
≤|x|+|y|

Answer 3

夹逼准则

追答

原式绝对值≥0

≤1x1+1y1

追问

能发给我个解题过程么？谢谢

为什么小于1x1+1y1，大于0？

Answer 4

？？？？？？？？