Question

正方形ABCD中，M为BD上一点，N为BC上一点，AM＝MN，NP⊥BD于P （1）AM⊥MN （2

）MP＝½BD
（3）AB BN BM之间的数量关系并证明

Answer 1

证明：（1）
过M作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，
则∠AEM=∠MFN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD=45°，
∴∠FMB=45°=∠CBD，
∴BF=MF，
∵∠EBN=∠BFM=∠BEM=90°，BF=FM，
∴四边形EBFM是正方形，
∴ME=MF，∠EMF=90°，
在Rt△AEM和Rt△NFM中

AM＝MN
ME＝MF
∴Rt△AEM≌Rt△NFM（HL），
∴∠AME=∠FMN，
∴∠AMN=∠AME+∠EMN=∠FMN+∠EMN=∠EMF=90°，
∴AM⊥MN；

（2）
连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2AO，AC⊥BD，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMN=∠AOD=90°，
∴∠MAO+∠AMO=90°，∠AMO+∠NMP=90°，
∴∠MAO=∠NMP，
∵NP⊥BD，
∴∠NPM=∠AOM=90°，
在△AOM和△MPN中，

∠MAO＝∠NMP
∠AOM＝∠MPN
AM＝MN
∴△AOM≌△MPN（AAS），
∴MP=AO，
∴MP=1 /2BD；
（3）BM=√2 /2 AB+√2/2 BN，

证明：过点M作MF垂直BC于F，ME⊥AB于E，连接CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，