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解:此题必为竞赛难题!!!答案: (-无穷,-1】。解析如下:
注意到:根号(b^2-4b+5)-b+2=根号[(2-b)^2+1]+2-b
根号(4a^2-8a+5)+2a-2=根号[(2a-2)^2+1]+2a-2
换元,设 x=2-b ,y=2a-2===>b=2-x , a=(y+2)/2 代入:4a^2+ab+b^2=10
化简,得 2x^2-xy+2y^2-10x+10y=0.............................(I)
原不等式等价转化为:2k<=lg(根号(x^2+1)+x)/【根号(y^2+1)+y]+(x-y)/2-2
设二元函数:F(x,y)=lg[(根号(x^2+1)+x)/(根号(y^2+1)+y]+(x-y)/2-2, 问题转化为求二元函数F(x,y)的最小值,
再设函数 f(x)=根号(x^2+1)+x ,则 f(x)>0 ,且f(x) 为增函数,
对二元函数F(x,y),将y看成常数, 则 F (x,y)是 x 的增函数, 反之,将x 看成常数,y为变量,则 F(x,y)是y 的减函数, 因此 x越小,y越大,即当 (x-y)的值越小时,F(x,y)的值越小。
设 t=x-y===>x=y+t 代入 方程(I) ,并化简,得
3y^2+3ty+2t^2-10t=0 ....................(II)
方程(II)的判别式>=0===>9t^2-4*3(2t^2-10t)>=0 ===>t^2-8t<=0
所以 0<=t<=8.
当 t=0 即 x=y 时,F(x,y) 取得最小值:-2.
2k<=-2===> k<=-1.
注意到:根号(b^2-4b+5)-b+2=根号[(2-b)^2+1]+2-b
根号(4a^2-8a+5)+2a-2=根号[(2a-2)^2+1]+2a-2
换元,设 x=2-b ,y=2a-2===>b=2-x , a=(y+2)/2 代入:4a^2+ab+b^2=10
化简,得 2x^2-xy+2y^2-10x+10y=0.............................(I)
原不等式等价转化为:2k<=lg(根号(x^2+1)+x)/【根号(y^2+1)+y]+(x-y)/2-2
设二元函数:F(x,y)=lg[(根号(x^2+1)+x)/(根号(y^2+1)+y]+(x-y)/2-2, 问题转化为求二元函数F(x,y)的最小值,
再设函数 f(x)=根号(x^2+1)+x ,则 f(x)>0 ,且f(x) 为增函数,
对二元函数F(x,y),将y看成常数, 则 F (x,y)是 x 的增函数, 反之,将x 看成常数,y为变量,则 F(x,y)是y 的减函数, 因此 x越小,y越大,即当 (x-y)的值越小时,F(x,y)的值越小。
设 t=x-y===>x=y+t 代入 方程(I) ,并化简,得
3y^2+3ty+2t^2-10t=0 ....................(II)
方程(II)的判别式>=0===>9t^2-4*3(2t^2-10t)>=0 ===>t^2-8t<=0
所以 0<=t<=8.
当 t=0 即 x=y 时,F(x,y) 取得最小值:-2.
2k<=-2===> k<=-1.
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