Question

任意项级数Un收敛，为什么就不能推出Un的平方收敛？两个加上绝对值一比，用比较判别法的极限形式，不

任意项级数Un收敛，为什么就不能推出Un的平方收敛？两个加上绝对值一比，用比较判别法的极限形式，不就能判断了吗？为什么这种抽象题一用定理做就错呢！

Answer 1

首先，这是个交错级数，这点不能忽略。
交错级数的特点就是，奇数项是相同符号的，偶数项也是相同符号的，但是奇数项和偶数项的符号相反。
既然u2n-1-u2n收敛，假设u2n-1收敛，那么可以证明出来u2n也收敛。
也就是说奇数项组成的级数和偶数项组成的级数都是收敛的。
因为奇数项是相同符号；偶数项也是相同符号
所以u2n-1收敛就可以得出|u2n-1|收敛，即奇数项的绝对值组成的级数也是收敛的
同理，偶数项的绝对值组成的级数也是收敛的。
这样un的绝对值组成的级数就是收敛的。
这和un是条件收敛矛盾，条件收敛，要求绝对值组成的级数不收敛。

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 3

一般不相等。对收敛域内的任意一个自变量，函数项级数是一般数项级数，其收敛值可负可正，但其绝对值级数是正项级数，其收敛值一定非负。例如通项为-1/n^2的级数收敛于
-pi^2/6，通项为(-1)^(n+1)/n^2的级数收敛于
pi^2/8，但两个级数都绝对收敛，收敛值都是
pi^2/6.

Answer 4

由于Un是任意项级数，加绝对值后会提高发散性，所以|Un|的敛散性未知，你再用Un^2跟|Un|相比，结果为就算为0有什么意义呢？

Answer 5

Un=(-1)^n（1/√n）收敛，Un^2=1/n发散