第十五题 要过程
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设BP=t 则 0≤t≤2√3
PD1=2√3-t
PQ的最小值是是PQ垂直于面ABCD是的垂线段最短；
PQ/t=2/(2√3)=(1/√3)
PQ=(1/√3)t
PD1+PQ=2√3-t+(1/√3)t=2√3+[(1/√3)-1]t =f(t)
而函数f(t)是[0,2√3]上的减函数，
最小值为：f(2√3)=2√3+[(1/√3)-1]2√3=2
PD1=2√3-t
PQ的最小值是是PQ垂直于面ABCD是的垂线段最短；
PQ/t=2/(2√3)=(1/√3)
PQ=(1/√3)t
PD1+PQ=2√3-t+(1/√3)t=2√3+[(1/√3)-1]t =f(t)
而函数f(t)是[0,2√3]上的减函数，
最小值为：f(2√3)=2√3+[(1/√3)-1]2√3=2
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追问
我的正确答案是2+根号2
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歪头时把题目看错了，把面的对角线看成了体的对角线；
设C1P=t 则 0≤t≤2√2;
对于任意的P点，PQ的最小值总是：P到BC的距离，所以，
PQ⊥BC于Q点，此时PQ=2-(√2/2)t ;
PD1+PQ=√[C1D1^2+t^2] + [2-(√2/2)t ] ,
=√(4+t^2) + 2-(√2/2)t ;
令t=2tanθ
PD1+PQ=√4[1+tan^2(θ)]+2-√2tanθ
=(2/cosθ)+2-(√2sinθ/cosθ)
=2+[(2-√2sinθ)/cosθ]
=2+√2[(√2-sinθ)/cosθ]
先求(√2-sinθ)/cosθ的最小值
令(√2-sinθ)/cosθ=k
√2-sinθ=kcosθ
sinθ+kcosθ=√2 引入辅助角：
√(1+k^2)sin(θ+φ)=√2
sin(θ+φ)=√2/√(1+k^2)≤1
k^2+1≥2
k^2≥1
k≥1所以，k即(√2-sinθ)/cosθ的最小值=1
2+√2[(√2-sinθ)/cosθ]≤2+√2
本题还能用展开图做，但运算量更大；反复用到余弦定理；
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