Question

如何证明limsinx/x=1

Answer 1

首先，先证明：当0<x<π/2时，有：
sin x < x < tan x
(不能用求导去证明，否则就变成循环论证
因为sin x的求导公式中运用到这一个极限)
在直角坐标系中作一单位圆(以原点O为圆心，1为半径的圆)，交x正半轴于点A
作圆在A点上的切线AB，其中B点在第一象限。连接OB，交圆于点P
过P作平行于y轴的直线，交x轴于Q。连结AP(请自己画图)
设∠POA=x(弧度)，那么OA=OP=1
PQ=OP*sin x=sin x, AB=OA*tan x=tan x
由图可知：△OPQ的面积<扇形OPA的面积<△OAB的面积
△OPQ的面积=1/2*PQ*OA=1/2*sin x
扇形OPA的面积=1/2*x*1^2=1/2*x
△OAB的面积=1/2*AB*OA=1/2*tan x
代入刚刚的面积大小关系就得：
sin x < x < tan x (0<x<π/2)

以下运用夹逼准则证明右极限等于1
上式各项取倒数，得：
1/tan x < 1/x < 1/sin x
各项乘以sin x,得：
cos x < (sin x)/x < 1
当x趋向0式，上面不等式中，cos x趋向1
而最右面也是1，由夹逼准则便有
lim sinx/x=1(x趋向0(+))

因为sinx/x是偶函数，图象关于y轴对称
所以lim sinx/x=1(x趋向0(-))
左右极限相等，都等于1
所以：

lim sinx/x=1(x趋向0)

Answer 2

用夹逼定理。
先等式sinx≤x≤tanx，x∈(0,π/2)成立。这个可以用做差求导的方法得证
然后各项除以sinx得：1≤x/sinx≤1/cosx
当x右趋0时，1≤sinx/x≤1，于是lim（x趋0+）sinx/x=1
然后x趋0-的时候同理，用sinx和tanx去夹x就有了。

Answer 3

x趋于0吧？
当0<x<π/2时
sinx<x<tanx[这个知道吧？]
除以sinx，得到1<x/sinx<1/cosx，由此得
cosx<sinx/x<1.
在上式中用-x代替x时，上式不变，故上式当-π/2<x<0时也成立，
从而它对一切满足不等式0<|x|<π/2的x都成立.
由lim(x→0)cosx=1及函数极限的迫敛性，即得
lim(x→0)(sinx/x)=1.
<end>

Answer 4

x→0时，因为是0/0型的式子求极限,所以可以采用洛必达法则,也就是分子分母同时求导.即:
原式=lim(cosx/1)=1

Answer 5

当x趋近于0时，sinx<x<tanx
所以1<x/sinx<1/cosx
所以根据夹逼准则
limx/sinx=1
所以limsinx/x=lim1/（x/sinx）=1

注 以上所有lim都是x趋近于0.