具体回答如下：
分子 lim[x→0] (1+x)^(1/x)-e=lim[x→0] (1+x)^(1/x) -e=e-e=0
分母 lim[x→0] x=0
所以题目属于0/0形式，适合用洛必达法则:
首先求(1+x)^(1/x)的导数
设y=(1+x)^(1/x)
lny=ln(1+x)/x,两边对x求导
1/y·y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
1/y·y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²(1+x)
y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
lim[x→0] [(1+x)^(1/x)-e]/x，上下分别求导，分母x的导数是1，e的导数是0，所以剩余的就是(1+x)^(1/x)的导数
=lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
=lim[x→0] (1+x)^(1/x)·lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
=e·lim[x→0] {1-[ln(1+x)+(1+x)·1/(1+x)]}/[(1+x)·2x+x²]，再上下求导
=e·lim[x→0] [1-ln(1+x)-1]/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] ln(1+x)/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] 1/(1+x)/(2+6x)，再上下求导
=e·-lim[x→0] 1/[(1+x)(2+6x)]，此时不为0/0形式，可以代入数值
=e·-1/[(1+0)(2+0)]
=e·-1/2
=-e/2
极限函数的意义：
在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。
换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
如图，过程比较复杂
由于lim[(1+x)^(1/x)]x趋向于0是等于e，所以这是0比0型，可以利用洛比达法则，主要就是隐函数求导稍微麻烦一些
令y=(1+x)^(1/x)，则 lny=[ln(1+x)]/x
两边同时对x求导，那么(1/y)*y'={[ln(1+x)]/x}'
后面的自己算一下就好了
所以y'=y*{[ln(1+x)]/x}'
所以 lim[(1+x)^(1/x)-e]/x x趋向于0=lim y' 利用洛比达法则
=limy*lim{[ln(1+x)]/x}'
很明显limy=e，后面那一项通过两次洛比达法则就可以求出来，答案是-1/2
所以原极限等于-e/2.
这个方法最容易想到，可以复杂一些，不知道有没有其他的方法。希望能帮到你
