Question

求第16题的解析，要详细

Answer 1

貌似是白薯老师出了错题..... 有事出去一下，回头详细解释.....

表面上看，可以根据 a(n+1) - 1 = a(n)( a(n) - 1) 得到
1/a(n) = 1/(a(n)-1) - 1/(a(n+1) -1)
然后得到和式
1/a1 + 1/a2 + .... + 1/a2015 = 1/(a1-1) - 1/(a2016-1) = 2
然后根据 a1 和 a2016 的这个关系式，以及 a2016 - 4a1 取最小值，计算出 a1 来

但是.... 这个结果是错误的.... 我们不能随便拿着公式乱套..... 因为如果
1) a(n+1) = a(n)^2 - a(n) + 1, a1 > 1
2) 1/a1 + 2/a2 + .... + 1/a2015 = 2
那么，a1, a2, ... a2016 都是确定值

我们知道，当 a1 > 1 时， a2 = a1*a1 - a1 + 1
设 a1 = 1+x (x>0)
a2 = 1+2x+x^2 - (1+x) + 1 = 1+x+x^2 > 1+x = a1
同理, a3 > a2 ....
a(n) 是单调增加的序列

而设 f(a1) = 1/a1 + 1/a2 + .... + 1/a2015
让我们考虑 b(n) 满足 b1>a1>1 且 b(n+1)=b(n)^2 - b(n) + 1
显然有 b2 > a2, b3 > a3 ..... 从而 1/b1 < 1/a1, 1/b2 < 1/a2 ..... 1/b2015 < 1/a2015
f(b1) < f(a1)

就是说，f(x) 在 x>1 时是单调减函数
而显然可以证明, 存在 x1 > 1 使得 f(x1) > 2; 存在 x2 > 1 使得 f(x2)<2
也就是说，f(x) = 2 存在唯一解.... 只要 f(a1) = 2, a1 就是确定值，a2, a3, .... , a2016 都是确定值，a2016-4a1 也是确定值.... 不存在什么最小值....

我们知道从 f(a1) = 2 能得到 a1 的多项式方程，并且这个方程在 a1>1 存在唯一解..... 就是说，不用管 a2016-4a1 最小值什么的了（它是确定值，根据它取最小值推断 a1 99.9% 是错的）.... 而且我告诉你一个好消息，超过 5 次的多项式方程，没有根式解，只有数值解......

我们可以用二分法，通过数值计算，得到这个值.... 或者，直接用 excel .... 反正在 f(a1)=2 的时候收敛很快.... 事实上 a1 大约等于 1.5

Answer 2

a(n+1)=a(n)²-a(n)+1变形为：a(n+1)-1=a(n)（a(n)-1）
两边取倒数：1/[a(n+1)-1]=1/a(n)（a(n)-1）=1/（a(n)-1）-1/a(n)
也就是：1/a(n)=1/（a(n)-1）-1/【a(n+1)-1】
可以裂项了：
1/a1+1/a2+。。。+1/a2015=1/(a1-1)-1/(a2016-1)=2
所以：a2016=(2-a1)/(3-2a1)
a2016-4a1=(8a1²-13a1+2)/(3-2a1)=2(3-2a1)+1/[2(3-2a1)]-11/2
有最小值，当且仅当2(3-2a1)=1/[2(3-2a1)]时
a1=5/4

Answer 3

递推公式两边减一后整理，得到
a(n+1) - 1 = a(n) * [ a(n) - 1 ]
两边取倒数，得到
1/ [a(n+1) - 1] = 1 / [a(n) - 1] - 1/a(n)
所以 1/a(n) = 1 / [a(n) - 1] - 1/ [a(n+1) - 1]
1/a(1) + ... + 1/a(2015) = 1 / [ a(1) - 1 ] - 1 / [ a(2016） - 1] = 2
整理后得到 2a(1)a(2016) - a(1) - 3a(2016) + 2 = 0
即a(1) = [3a(2016) - 2 ] / [2a(2016) - 1]
所以a(2016) - 4a(1) = [a(2016)^2 - 13a(2016) + 8 ] / [2a(2016) - 1]
= a(2016) - 6 + 2/[2a(2016) - 1] （*）
注意到a(i+1) - 1 = a(i) * [ a(i) - 1 ]
所以若 a(i) > 1则 a(i+1) > 1
又因为 a(1) > 1 所以 a(n) > 1恒成立，即 2a(n) - 1 > 0恒成立
因此表达式 （*） 当且仅当 a(2016) - 1/2 = 2 / [2a(2016) - 1] 时取得最小值
即a(2016) = (根号(2) +1) / 2
代入上面a(1)和a(2016)的关系式求得a(1) = [ 6-根号(2) ] / 2