Question

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD于M.求证:AM=二分之一(AB+AC)

大家来看看，急急急
能够延长AB,CM交于P,取BP的中点N,连接MN，这样做吗？

Answer 1

证明：

延长AM至E  使得AE=AC，连结EC

∵AD平分∠BAC 

∴∠BAD=∠CAE 

∵AB=AD ，AE = AC

∴△ABD∽△AEC

∴AB/AC=BD/EC

∵∠BAD = ∠CAD，AB = AD，AC = AE

∴2∠AEC = 2∠B = 2∠ADB = 2∠CDE

∴∠AEC = ∠CDE

∴CD = CE

∵CM⊥DE 

∴DM=EM

∴AM

=AD+DM

=(AD+AD+DM+DM)/2

=(AD+AD+MD+ME)/2

=(AD+AE)/2

=(AD+AC)/2

=(AB+AC)/2

Answer 2

延长AM至E，使AE=AC，连接CE。
∵AD=AB
∴∠ABD=∠BDA=1/2（180°-∠BAD）
∵AE=AC
∴∠AEC=∠ECA=1/2（180°-∠EAC）
又∵∠BAD=∠EAC
∴∠BDA=∠AEC
又∵∠BDA=∠CDE
∴∠CDE=∠AEC
又∵CM⊥AD
∴DM=ME=1/2 DE（等腰三角形三线合一）
又∵AD=AB，AC=AE
∴DM=1/2（AC-AB）
则DM+AD=1/2（AC-AB）+AB
即AM=1/2（AC+AB）

Answer 3

延长AM至E，使AE=AC，连接CE。
∵ AD=AB AE=AC
∴∠ABD=∠BDA=1/2 ∠AEC=∠ECA=1/2
∵∠BAD=∠EAC ∠BDA=∠CDE
∴∠BDA=∠AEC ∠CDE=∠AEC
∵ CM⊥AD
∴ DM=ME=1/2 DE
又∵AD=AB，AC=AE
∴ DM=1/2（AC-AB）
DM+AD=1/2（AC-AB）+AB
即 AM=1/2（AC+AB）

Answer 4

延长AM到E，使AE等于2AM，则CM垂直平分AE，
所以
AC=CE，
所以
∠CAD=∠E，
因为
∠BAD=∠CAD
所以
∠E=∠BAD
所以
AB∥CE
所以
∠B=∠ECD
又因为
AB=AD
所以
∠B=∠ADB
因为
∠ADB=∠∠CDE
所以
∠CDE=∠ECD
所以
ED=EC
所以
ED=AC
则有
ED+AD=2AM=AC+AB
得证