Question

下面那个题，导数，大神求进啊!

Answer 1

f(x)=aln(x-a)-½x²+x a<0 定义域x>a
f'(x)=a/(x-a)-x+1=(a-x²+ax+x-a)/(x-a)=x(a+1-x)/(x-a)
驻点x₁=0 x₂=a+1
f''(x)=-a/(x-a)²-1
f''(a+1)=-a-1
当-1<a<0时 f''(a+1)<0 x₂=a+1 是极大值点
极大值f(a+1)=-½(a+1)²+a+1=-½a²+1/2>0
x₁=0是极小值点 f(0)=aln(-a)>0
f(x)有且仅有一个零点
当-1<a<0时 f''(a+1)<0 x₂=a+1 是极大值点
极大值f(a+1)=-½(a+1)²+a+1=-½a²+1/2>0
x₁=0是极小值点 f(0)=aln(-a)>0
f(x)有且仅有一个零点
当a<-1时 f''(a+1)>0 x₂=a+1 是极小值点
极大值f(a+1)=-½(a+1)²+a+1=-½a²+1/2<0
x₁=0是极大值点 f(0)=aln(-a)<0
f(x)有且仅有一个零点
a=-1 x₁=x₂=0 驻点不是极值点，f(x)单调递增，有且仅有一个零点
∴a<0 时，f(x)有且仅有一个零点.