Question

第五题求解～～～高二数学

Answer 1

首先，固定D点位置，三棱锥P-BCD的底BCD不变，高当PBD平面直立（平面PBD垂直于平面ABC是，高最大，体积最大。PBD相当于ABD沿BD向上折起来的。
△ABC是底角30°的等腰△，AC=2×2cos30°=2√3
设AD=x，过A作BD垂线，交于E，连PE，则PE=AE，是P-BCD的高。
▲ABC面积=AC×高/2=2√3×2/2/2=√3
设AD=x，
根据余弦定理，
DB=√（x²+2²-2x×2cos30°）
=√（x²+4-2x√3）

▲ABD面积=2xsin30°/2=x/2，▲BCD面积=▲ABC面积-▲ABD面积=√3-x/2
高AE=PE=▲ABD面积×2÷BD
=x/√（x²+4-2x√3）
P-BCD的体积y=（1/3）▲BCD面积×高
=（1/3）（√3-x/2）x/√（x²+4-2x√3）
y=（1/6）x（2√3-x）/√（x²+4-2x√3）
对x求导
y'=（1/6）{[2√3-x+x(-1)]√（x²+4-2x√3）-x（2√3-x）(1/2)/√（x²+4-2x√3）.(2x-2√3）}/（x²+4-2x√3）
=（1/6）{（2√3-2x）√（x²+4-2x√3）-x（2√3-x）（x-√3）/√（x²+4-2x√3）}/（x²+4-2x√3）
=（1/6）{（2√3-2x）（x²+4-2x√3）+x（2√3-x）（√3-x）}/√（x²+4-2x√3）³
y'=0
（2√3-2x）（x²+4-2x√3）+x（2√3-x）（√3-x）=0
（√3-x）[2（x²+4-2x√3）+x（2√3-x）]=0
（√3-x）[2x²+8-4x√3+2√3x-x²]=0
（√3-x）[x²+8-2x√3]=0
x=√3，后面Δ=12-4×8<0无实数解
此时，D位于AC中点E，AE与AD重合，高PD=x=√3，底面面积=√3/2
体积=（1/3）（√3/2）√3=1/2

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