高等数学小题
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解：设所求点是(x0,y0,z0)
再设F=xy-z,则Fx=y,Fy=x,Fz=-1
∴在点(x0,y0,z0)处的法向量是{y0,x0,-1}
∵在该点处的法线垂直与平面 x+3y+z=9
∴该点处的法线与平面x+3y+z=9的法向量平行
∵平面x+3y+z=9的法向量是{1,3,1}
∴y0/1=x0/3=-1/1 ==>y0/1=x0/3=-1
==>x0=-3,y0=-1
把它们代入z=xy,得z0=3
故所求点是(-3,-1,3)
再设F=xy-z,则Fx=y,Fy=x,Fz=-1
∴在点(x0,y0,z0)处的法向量是{y0,x0,-1}
∵在该点处的法线垂直与平面 x+3y+z=9
∴该点处的法线与平面x+3y+z=9的法向量平行
∵平面x+3y+z=9的法向量是{1,3,1}
∴y0/1=x0/3=-1/1 ==>y0/1=x0/3=-1
==>x0=-3,y0=-1
把它们代入z=xy,得z0=3
故所求点是(-3,-1,3)
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在曲面z=xy 上求一点，使在该点处的法线垂直与平面 x+3y+z=9，
并写出法线方程.
设一点P（x0,y0,z0）
对Z求关于X和Y的导
Zx=y Zy=x Zx(x0,y0,z0)=y0 Zy(x0,y0,z0)=x0
则法线方程为：Z-z0/-1=X-x0/y0=Y-y0/x0
且此法线的方向向量为：A（y0，x0，-1）
平面x+3y+z+9=0的法向量为：B（1，3，1）
（向量A B 的点乘为0）即1y0+3x0+(-1)=0
点P（x0,y0,z0）在曲面z=xy上z0=x0y0
并写出法线方程.
设一点P（x0,y0,z0）
对Z求关于X和Y的导
Zx=y Zy=x Zx(x0,y0,z0)=y0 Zy(x0,y0,z0)=x0
则法线方程为：Z-z0/-1=X-x0/y0=Y-y0/x0
且此法线的方向向量为：A（y0，x0，-1）
平面x+3y+z+9=0的法向量为：B（1，3，1）
（向量A B 的点乘为0）即1y0+3x0+(-1)=0
点P（x0,y0,z0）在曲面z=xy上z0=x0y0
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