Question

跪求3（2）做法，高等数学高阶求导问题

Answer 1

（2） 两边对 x 求导得
(x+yy')/√(x^2+y^2) = a[(xy'-y)/x^2]/[1+(y/x)^2] = a[(xy'-y)/(x^2+y^2),
即 (x+yy')√(x^2+y^2) = a(xy'-y), (A)
y' = [x√(x^2+y^2)+ay]/[ax-y√(x^2+y^2)]. (B)
式 (A) 两边再对 x 求导得
[1+(y')^2+yy'']√(x^2+y^2) + (x+yy')^2/√(x^2+y^2) = a(y'+xy''-y') = axy'',
即 [1+(y')^2+yy''](x^2+y^2) + (x+yy')^2 = axy''√(x^2+y^2)，
2x^2 + y^2 + 2xyy' + (x^2+2y^2)(y')^2 + yy''(x^2+y^2) = axy''√(x^2+y^2),
得 y'' = [2x^2+y^2+2xyy' +(x^2+2y^2)(y')^2] / [ax√(x^2+y^2)-y(x^2+y^2)]
将式 (B) 代入即得。

追问

第一步e∧arctany／xz怎么没了

追答

抱歉！ 漏写了。
（2） 两边对 x 求导得
(x+yy')/√(x^2+y^2) = a[(xy'-y)/x^2]/[1+(y/x)^2]e^[arctan(y/x)]
= a[(xy'-y)e^[arctan(y/x)]/(x^2+y^2),
即 (x+yy')√(x^2+y^2) = a(xy'-y)e^[arctan(y/x)], (A)
y' = {x√(x^2+y^2)+aye^[arctan(y/x)]}/{axe^[arctan(y/x)]-y√(x^2+y^2)}. (B)
式 (A) 两边再对 x 求导得
[1+(y')^2+yy'']√(x^2+y^2) + (x+yy')^2/√(x^2+y^2)
= axy''e^[arctan(y/x)] + a(xy'-y)^2e^[arctan(y/x)]/(x^2+y^2) ,
解出 y'' ， 将式 (B) 代入即得。