Question

怎样判定一个二次型是正定的？

Answer 1

定义：设有实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有f(x)＞0，则称此二次型为正定二次型，并把其对称矩阵A称为正定矩阵.
正定二次型的判别方法:
a）：二次型标准形中n个系数都大于零，则其为正定；
b）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零，则其为正定；
c）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零，则其为正定.
注：设A为n阶方阵，则位于A的左上角的1阶，2阶，...，n阶子式，
即：称为A的各阶顺序主子式.

例1：判别二次型的正定性.
解：方法一：利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.
方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.

除了正定二次型外，还有其他类型的二次型。
定义：设有实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有f(x)＜0，则称此二次型为负定二次型，对称矩阵A称为负定矩阵；如果都有f(x)≥0，则称此二次型为半正定二次型，并称其矩阵为半正定矩阵；如果都有f(x)≤0，则称此二次型为半负定二次型，并称其矩阵为半负定矩阵。

书上的转载

Answer 2

定义：设有实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有f(x)＞0，则称此二次型为正定二次型，并把其对称矩阵A称为正定矩阵.
正定二次型的判别方法:

1）：二次型标准形中n个系数都大于零，则其为正定；

2）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零，则其为正定；

3）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零，则其为正定. 

注：设A为n阶方阵，则位于A的左上角的1阶，2阶，...，n阶子式，

即：称为A的各阶顺序主子式.

判别二次型的正定性.
解：方法一：利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.
方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.