Question

advanced mathmatics~~~高等数学】关于 Newton-Cotes formulae(系列公式)~树上的说法，是否正确？

我看了树上的说法之后，疑窦丛生|！我感觉很奇怪呀：∵我联想起泰勒公式的Taylor series expansion,那不是说，导数越高阶，这个多项式的数值，就越逼近原生函数的数值！那我就奇怪啦：怎么到牛顿-哥德斯系列公式里，怎么就反过来啦？是什么原理啊？书上有木有搞错？【问题在第一张图片上，其他图片，仅供参考！谢谢您！】

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Answer 1

直观上，好像是n越大，近似值的近似程度就越高，但是这里还涉及到一个算法的稳定性问题，就是公式中用到的函数值f0,f1,f2之类的，在实际计算中多是带有误差的，“差之毫厘”，这些误差累积起来，对结果的影响有可能是巨大的，导致最终算出来的近似值与准确值“谬之千里”。
从书上给出的低阶公式的表达式可知，当n≤7时，所有的cote系数都是正的，从n=8开始，系数开始出现负的，且可以证明所有的cotes系数的绝对值之和当n→∞时的极限是+∞，所以不适宜使用太大的n。
其次，我们当然想让所得近似求积公式适用于更多的连续函数f(x)，但是可以找到反例，使得求积公式序列不收敛。
所以，基于稳定性、收敛性的考虑，选择低阶的N-C公式或Gauss型公式，然后“复化”。

另外，通过对求积公式的误差的推导，当n为偶数时，相比之下误差更小一些，所以选择n=2时的Simpson公式以及n=4时的Boole公式更好。

追问

shouxian首先，不得不说，劳烦老师费了很大的心血，表示剧烈的谢忱！

1）【从n=8开始，系数开始出现负的】，这我理解啦【从下面的1图】

2）【这些误差累积起来，对结果的影响有可能是巨大的】这句话，不理解？就是说，

牛-哥系列公式，发展到后面，无非是，插值插得越来越多，点去的越来越多！

但问题是，这怎么会导致误差越来越大？从几何图形上、直觉上看，怎么看出来的呢？

追答

N-C公式的基础是插值法，在高次插值里面有个Runge现象，就是对于某些函数来说，在某些区间之内，插值多项式序列{Ln(x)}不一致收敛于被插值函数，比如f(x)=1/(1+x²)，区间是[-5,5]，从图象上看，越靠近端点±5，{Ln(x)}与f(x)的误差越大。反映在数值积分里面，就会出现前面说过的稳定性与收敛性问题。

追问

我先已经把您的这段话，抄下来啦 in  my  notebook！

然后，我昨天，坐在车上回去的时候，也在思考一个更常识、更基础的问题：