Question

y=x方-x+1分之x方+1 的值域

Answer 1

解：y=(x^2+1)/(x^2-x+1)

方法一：拆分法

y=(x^2+1-x+x)/(x^2-x+1)

y=1+x/(x^2-x+1)

1. x=0,y=1.

2. x/=0,y=1+1/(x+1/x-1)

令t=x+1/x。

1. x>0,t>=2,tmin=2,y=1+1/(t-1)

t>=2,t-1>=1,0<1/(t-1)<=1

1<y<=2

2.x<0

t<=-2,

t-1<=-2-1=-3

t-1<=-3

0>1/(t-1)>=-1/3

1>1+1/(t-1)>=-1/3+1=2/3

1>y>=2/3

2/3=<y<1

综上，x/=0,y属于（1，2]u[2/3,1)

x=0,y=1

综上，[1,2]u[2/3,1)

[2/3,2]

方法二：反函数法：

y=(x^2+1)/(x^2-x+1)

定义域：x^2-x+1/=0

x^2-x+1=0

1-4=-3<0

吴师叔解，空集

x^2-x+1=0的借机为空集，

x^2-x+1/=0的借机为空集的补给，R。

y(x^2-x+1)=x^2+1

yx^2-yx+y=x^2+1

yx^2-yx+y-x^2-1=0

(y-1)x^2-yx+y-1=0

这个是关于x的准一元二次方程，

1. y=1,-x=0,x=0

2. y/=1

这个方程有解，

y^2-4(y-1)(y-1)>=0

y^2-4(y^2-2y+1)>=0

y^2-4y^2+8y-4>=0

-3y^2+8y-4>=0

3y^2-8y+4<=0

（3y-2)(y-2)<=0

(3y-2)(y-2)=0

y1=2/3,y2=2

2/3<=y<=2

[2/3,2]

综上：｛1｝u[2/3,2]

1属于[2/3,2]

所以并集=[2/3,2]。

两种方法的结果是一直的，

所以两种方法的计算结果都是正确的。

答案是[2/3,2].