Question

高数 不定积分 求高手作答

Answer 1

设x=tan u，则u=arctan x，由于x可取任意实数，因此相应地有u∈(-π/2,π/2).

1+x²=1+tan² u=1/cos² u，而当u∈(-π/2,π/2)时，有cos u>0，因此

sqrt(1+x²)=1/cos u。

另外，有dx=du/cos² u,因此所求的积分为

令t=sin u，由于u∈(-π/2,π/2)，因此t关于u单调递增，而且根据正弦函数于正切函数的关系(为了形象起见，可以画出直角三角形)得到：

而原来的积分为

通过待定系数法处理被积函数：

令t分别取6个不同的值，即可得到一个6阶的线性方程组，从而把6个未知数求出来。

最后结果为：

到这一步就很简单了，对t进行积分，然后把x带进去即可得到结果：

[x*(x^2 + 1)^(3/2) - atanh(x/(x^2 + 1)^(1/2)) + x^3*(x^2 + 1)^(1/2)]/8+C