Question

正在学高数(有关函数平均值),求数学大神指导一下, 感激不尽!!

高数里,连续函数的平均值可用积分表示成 (曲线和y=0围成的面积除以[a,b]的长度.那"经过圆上任意两点的所有弦的平均值是否直接用圆面积除以直径就是所有弦长的平均值?"金币不多,谢谢啊.

Answer 1

连续函数的平均值之所以是那样求，是因为函数的平均值就是等价的矩形的高，所以用总的面积除以底边就可以算出平均值。
而圆的那道题目，你那样算出的平均值是所有和某一固定的直径相互垂直的弦长的平均值，直观上是那么理解的。
但是题目要求的是所有的弦长的平均值，但是所有的弦都可以进行分类，将垂直于某一条直径的弦归为一类，由于求平均可以部分求平均再求一次平均，如果每个部分的平均值相等，那总的平均值就是部分的平均值，而这道题正好就是这样，所以答案是对的。

追问

不太明白下面那段话, 有可能不是正好吗, 因为无限多条直径都有自己对应的无限条垂直弦, 那其实直径怎麽旋转, 它所对应的弦都不会变,只是跟著它转, 那是不是任何情况"经过圆上任意两点的所有弦的平均值"都是这样算啊. 抱歉,有点笨.

追答

反正这样算是对的，只是要明白为什么可以这样算就可以了。